JHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Liite 1: Projektiokaavat
- Versio: 6.6.2008
- Julkaistu:
- Voimassaoloaika: Toistaiseksi
Transverse Mercator-projektiolle on esitetty laskentakaavoja esimerkiksi seuraavissa lähteissä:
- Hirvonen, R.A., Matemaattinen Geodesia, Teknillisen korkeakoulun ylioppilaskunta, Helsinki, 1972
- Hirvonen, R.A. The Use of Subroutines in Geodetic Computations, Maanmi ttaus, 1970.
- Hooijberg, Marten: Practical Geodesy, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1997, pages 81-84
- Krüger L: Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, B. G. Teubner Verlag Leipzig 1912, pages 11-22
- König, R.; Weise, K. H.: Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie, Springer Verlag Berlin Göttingen Heide lberg, 1951
- Meade, B. K., Program for Computing Universal Transverse Mercator (UTM) Coordinates for Latitudes North or South and Longitudes East or West, Su rveying and Mapping, Vol. 47, No. 1, pages 37 – 49.
- Poder, K.; Engsager, K.: Some Conformal Mappings and Transformations for Geodesy and Topographic Cartography, Publications 4 series, volume 6, National Survey and Cadastre Denmark, 1998
Seuraavaksi esitettävät kaavat ovat R.A. Hirvosen kirjasta Matemaattinen Geodesia ja Maanmittaus-lehden artikkelista.
Suomessa käytettävien ellipsoidien parametreja
|
Ellipsoidi |
Isoakselin puolikas a (m) |
Pikkuakselin puolikas b (m) |
Litistyssuhde f |
|
Kansainvälinen 1924 (Hayford 1909) |
6378388.0 |
6356911.946128 |
1/297.0 |
|
GRS80 |
6378137.0 |
6356752.314140 |
1/298.257222101 |
|
WGS84 |
6378137.0 |
6356752.314245 |
1/298.257223563 |
Kaavoissa esiintyvät symbolit ja niiden määritelmät
kaavoissa käytetään kulmayksikkönä radiaania.
|
Symboli |
Määritelmä |
|
|
a |
= |
ellipsoidin isoakselin puolikas |
|
b |
= |
ellipsoidin pikkuakselin puolikas |
|
f |
= |
ellipsoidin litistyssuhde |
|
k 0 |
= |
mittakaavakerroin keskimeridiaanilla |
|
λ 0 |
= |
projektion keskimeridiaani |
|
E 0 |
= |
Itäkoordinaatin arvo keskimeridiaanilla |
|
φ |
= |
geodeettinen leveys |
|
λ |
= |
geodeettinen pituus |
|
E |
= |
projektion itäkoordinaatti |
|
N |
= |
projektion pohjoiskoordinaatti |
|
γ |
= |
meridiaanikonvergenssi |
|
k |
= |
mittakaavakerroin |
|
A 1 |
= |
meridiaanin pituisen ympyrän säde |
|
e 2 |
= |
ensimmäisen epäkeskisyyden neliö |
|
e' 2 |
= |
toisen epäkeskisyyden neliö |
|
n |
= |
toinen litistyssuhde |
|
t |
= |
suuntakulma tasolla (suuntakorjauksen kaavassa δ = T - t) |
|
c |
= |
napakaarevuussäde |
|
M |
= |
meridiaanikaarevuussäde |
|
N |
= |
poikittaiskaarevuussäde (kaavassa (42)) |
|
Hyperboliset ja käänteiset hyperboliset (area) funktiot: |
||
|
(Vain hyperbolisten funktioiden kaavoissa e = Neperin luku, muutoin e = ensimmäinen epäkeskisyys) |
||
|
sinh(x) |
= |
|
|
cosh(x) |
= |
|
|
tanh(x) |
= |
|
|
arsinh(x) |
= |
|
|
artanh(x) |
= |
|
|
sech(x) |
= |
|
|
arsech(x) |
= |
|
Apusuureet
|
n |
= |
|
(01) |
|
A 1 |
= |
|
(02) |
|
e 2 |
= |
2f – f 2 |
(03) |
|
e' 2 |
= |
|
(04) |
|
V 2 |
= |
1 + e’ 2 cos 2 ( φ ) |
(05) |
|
h 1 |
= |
|
(06) |
|
h 2 |
= |
|
|
|
h 3 |
= |
|
|
|
h 4 |
= |
|
|
|
h 1 ’ |
= |
|
(07) |
|
h 2 ’ |
= |
|
|
|
h 3 ’ |
= |
|
|
|
h 4 ’ |
= |
|
Projektiokaavat
Geodeettisista koordinaateista ( φ , λ ) tasokoordinaateiksi (N, E)
|
Syöte: |
pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ ) |
|
Tulos: |
pisteen tasokoordinaatit (N, E) projektiotasolla, |
|
Q’ |
= |
arsinh[tan( φ )] |
(08) |
|
Q’’ |
= |
artanh[e · sin( φ )] |
(09) |
|
Q |
= |
Q’ - e · Q’’ |
(10) |
|
l |
= |
λ - λ 0 |
(11) |
|
β |
= |
arctan[sinh(Q)] |
(12) |
|
η ’ |
= |
artanh[cos( β ) · sin(l)] |
(13) |
|
ξ ’ |
= |
|
(14) |
|
ξ 1 |
= |
h 1 ’sin(2 ξ ’)cosh(2 η ’) |
(15) |
|
ξ 2 |
= |
h 2 ’sin(4 ξ ’)cosh(4 η ’) |
|
|
ξ 3 |
= |
h 3 ’sin(6 ξ ’)cosh(6 η ’) |
|
|
ξ 4 |
= |
h 4 ’sin(8 ξ ’)cosh(8 η ’) |
|
|
η 1 |
= |
h 1 ’cos(2 ξ ’)sinh(2 η ’) |
(16) |
|
η 2 |
= |
h 2 ’cos(4 ξ ’)sinh(4 η ’) |
|
|
η 3 |
= |
h 3 ’cos(6 ξ ’)sinh(6 η ’) |
|
|
η 4 |
= |
h 4 ’cos(8 ξ ’)sinh(8 η ’) |
|
|
ξ |
= |
ξ ’ + ( ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 + ξ 4 ) |
(17) |
|
η |
= |
η ’ + ( η 1 + η 2 + η 3 + η 4 ) |
(18) |
|
N |
= |
A 1 ·ξ· k 0 |
(19) |
|
E |
= |
A 1 ·η· k 0 + E 0 |
(20) |
Tasokoordinaateista (N, E) geodeettisiin koordinaatteihin ( φ , λ )
|
Syöte: |
pisteen tasokoordinaatit (N, E) projektiotasolla, |
|
Tulos: |
pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ ) |
|
ξ |
= |
|
(21) |
|
η |
= |
|
(22) |
|
ξ 1 ’ |
= |
h 1 sin(2 ξ )cosh(2 η ) |
(23) |
|
ξ 2 ’ |
= |
h 2 sin(4 ξ )cosh(4 η ) |
|
|
ξ 3 ’ |
= |
h 3 sin(6 ξ )cosh(6 η ) |
|
|
ξ 4 ’ |
= |
h 4 sin(8 ξ )cosh(8 η ) |
|
|
η 1 ’ |
= |
h 1 cos(2 ξ )sinh(2 η ) |
(24) |
|
η 2 ’ |
= |
h 2 cos(4 ξ )sinh(4 η ) |
|
|
η 3 ’ |
= |
h 3 cos(6 ξ )sinh(6 η ) |
|
|
η 4 ’ |
= |
h 4 cos(8 ξ )sinh(8 η ) |
|
|
ξ ’ |
= |
ξ - ( ξ 1 ’ + ξ 2 ’ + ξ 3 ’ + ξ 4 ’) |
(25) |
|
η ’ |
= |
η - ( η 1 ’ + η 2 ’ + η 3 ’ + η 4 ’) |
(26) |
|
β |
= |
arcsin[sech( η ’) · sin( ξ ’)] |
(27) |
|
l |
= |
|
(28) |
|
Q |
= |
arsinh[tan( β )] |
(29) |
|
Q’ |
= |
Q + e · artanh[e · tanh(Q)] |
(30) |
|
Q’ |
= |
Q + e · artanh[e · tanh(Q’)] iterointi, kunnes muutos =0 |
(31) |
|
φ |
= |
arctan[sinh(Q’)] |
(32) |
|
λ |
= |
λ 0 + l |
(33) |
Käytännössä kaavassa (31) riittää kolme iteraatiokierrosta. Ensin kaavalla (29) laskettu Q sijoitetaan kaavaan (30), jolla saadaan Q’ :n ensimmäinen likiarvo. Q’:n likiarvo sijoitetaan kaavaan (31), jota iteroidaan.
Meridiaanikonvergenssi
|
Syöte: |
pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ ), keskimeridiaani λ 0 |
|
Tulos: |
meridiaanikonvergenssikulma ( γ ) |
|
γ |
= |
|
(34) |
Mittakaavakorjaus ja pituuskorjaus
|
Syöte: |
pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ ), keskimeridiaani λ 0 |
|||
|
Tulos: |
mittakaavakerroin (k) pisteessä ( φ , λ ) |
|||
|
k |
= |
|
(35) |
|
Mittakaavakerroin muuttuu hitaasti ja sitä voidaan monissa tarkoituksissa pitää vakiona noin 10 km 2 :n suuruisella alueella. Pidemmillä etäisyyksillä mittakaavakerroin voidaan laskea kaavalla:
|
k |
= |
1/6(k 1 + 4k m + k 2 ) |
(36) |
missä k 1 ja k 2 ovat mittakaavakertoimet linjan päissä ja k m on mittakaavakerroin linjan puolessavälissä.
Maastomittauksissa voidaan käyttää kaavalla (35) määritettyä mittakaavakertoimen arvoa k, mikäli esimerkiksi takymetrissä tehdään muutkin etäisyysmittauksen reduktiot mittaushetkellä. Muuten ellipsoidin pinnalla tehty ja ellipsoidin kaareksi redukoitu etäisyyshavainto korjataan projektiotasolle kertomalla se k:lla, joka saadaan joko kaavalla (36) tai tasokoordinaateista laskien kaavalla:
|
k |
= |
|
(37) |
Suuntakorjaus
Ellipsoidin pinnalla havaittu suunta korjataan tasolle suuntakorjauksella (Arc-to-chord Correction δ = T - t). Suuntakorjaus δ lasketaan seuraavilla kaavoilla:
|
Syöte: |
kahden pisteen koordinaatit (N 1 , E 1 ) ja (N 2, E 2 ) |
|||
|
Tulos: |
suuntakorjaus δ 1-2 ja δ 2-1 |
|||
|
δ 1-2 |
= |
|
(38) |
|
|
δ 2-1 |
= |
|
(39) |
|
Kaavoissa (37) – (39) käytettävistä itäkoordinaateista E 1 ja E 2 on vähennettävä 500 000 m (itäkoordinaatin arvo keskimeridiaanilla). R on keskikaarevuussäde, joka voidaan laskea kaavalla:
|
R |
= |
|
(40) |
|
M |
= |
|
(41) |
|
N |
= |
|
(42) |
|
c |
= |
|
(43) |
Suuntakulma (t) projektiotasolla, atsimuutti ( α ), konvergenssikulma ( γ ) ja suuntakorjaus ( δ ) riippuvat toisistaan seuraavan kaavan mukaisesti:
|
t |
= |
α - γ - δ |
(44) |
Kuva 4. Karttapohjoinen, napapohjoinen, konvergenssikulma ja suuntakorjaus.
Kun piste on keskimeridiaanin itäpuolella, karttapohjoinen on itään napapohjoisesta ja meridiaanikonvergenssi on positiivinen. Pisteen ollessa länteen keskimeridiaanista, karttapohjoinen on länteen napapohjoisesta ja meridiaanikonvergenssi on negatiivinen. Katso myös kuva 3.