JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako

Liite 2: Projektiokaavat

  • Versio: 1.0 / 5.2.2016
  • Julkaistu: 5.4.2016
  • Voimassaoloaika: toistaiseksi

    1 Suomessa käytettävät ellipsoidit

      1.1 Ellipsoidien parametrit

Image1

      1.2 Kaavoissa esiintyvät ellipsoidin parametrien symbolit

Image2

      1.3 Ellipsoidin parametrien laskentakaavat

Image3

    2 Hyperboliset ja käänteiset hyperboliset funktiot

Hyperbolisten funktioiden kaavoissa e on Neperin luku. Kaikkialla muualla tässä liitteessä e on ellipsoidin ensimmäinen epäkeskisyys.

Image4

Image5

Image6

    3 Poikittainen Mercator-projektio

Poikittaiselle Mercator-projektiolle on esitetty laskentakaavoja esimerkiksi seuraavissa lähteissä:

  • Hirvonen, R. A., 1970. The Use of Subroutines in Geodetic Computations, Maanmittaus .
  • Hirvonen, R. A., 1972. Matemaattinen Geodesia , Teknillisen korkeakoulun ylioppilaskunta, Helsinki.
  • Hooijberg, M., 1997. Practical Geodesy , Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, ss. 81-84.
  • Krüger, L., 1912. Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, Veröffentlichung Königlich Preuszischen Geodätischen Institutes , Neue Folge N: 52:11-22, B. G. Teubner Verlag, Leipzig.
  • König, R., ja K. H. Weise, 1951. Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie , Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg.
  • Meade, B. K., 1987. Program for Computing Universal Transverse Mercator (UTM) Coordinates for Latitudes North or South and Longitudes East or West, Surveying and Mapping , 47 (1):37-49.
  • Poder, K., ja K. Engsager, 1998. Some Conformal Mappings and Transformations for Geodesy and Topographic Cartography, Publications 4 series, volume 6, National Survey and Cadastre Denmark.

Seuraavaksi esitettävät kaavat ovat R. A. Hirvosen kirjasta Matemaattinen Geodesia ja Maanmittaus-lehden artikkelista. Kaavojen apusuureeseen h 2 liittyen, lähdeteoksessa Hirvonen, R. A. (1970) oleva virhe on korjattu tähän suositukseen.

      3.1 Kaavoissa esiintyvät symbolit ja niiden määritelmät

Kaavoissa käytetään kulmayksikkönä radiaania.

Image7

      3.2 Apusuureet

Image8

Image9

      3.3 Projektiokaavat

Geodeettisista koordinaateista ( φ , λ ) tasokoordinaateiksi ( N, E )

Syöte:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ )

Tulos:

pisteen koordinaatit ( N, E ) projektiotasolla

Image10

Image11 Image12

Tasokoordinaateista ( N, E ) geodeettisiin koordinaatteihin ( φ , λ )

Syöte:

pisteen koordinaatit ( N, E ) projektiotasolla

Tulos:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ )

Image13

Image14 Image15

Image16

      3.4 Meridiaanikonvergenssi

Syöte:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ ), keskimeridiaani λ 0

Tulos:

meridiaanikonvergenssikulma ( γ )

Image17

      3.5 Mittakaavakorjaus ja pituuskorjaus

Syöte:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ ), keskimeridiaani λ 0

Tulos:

mittakaavakerroin ( k ) pisteessä ( φ , λ )

Image18

Mittakaavakerroin muuttuu hitaasti ja sitä voidaan monissa tarkoituksissa pitää vakiona noin 10 km 2 :n suuruisella alueella. Pidemmillä etäisyyksillä mittakaavakerroin voidaan laskea kaavalla:

Image19

missä k 1 ja k 2 ovat mittakaavakertoimet linjan päissä ja k m on mittakaavakerroin linjan puolessavälissä.

Maastomittauksissa voidaan käyttää kaavalla (35) määritettyä mittakaavakertoimen arvoa k, mikäli esimerkiksi takymetrissä tehdään muutkin etäisyysmittauksen reduktiot mittaushetkellä. Muuten ellipsoidin pinnalla tehty ja ellipsoidin kaareksi redukoitu etäisyyshavainto korjataan projektiotasolle kertomalla se k :lla, joka saadaan joko kaavalla (36) tai tasokoordinaateista laskien kaavalla:

Image20

      3.6 Suuntakorjaus

Ellipsoidin pinnalla havaittu suunta korjataan tasolle suuntakorjauksella (Arc-to-chord Correction δ = T - t ). Suuntakorjaus δ lasketaan seuraavilla kaavoilla:

Syöte:

kahden pisteen koordinaatit ( N 1 , E 1 ) ja ( N 2, E 2 )

Tulos:

suuntakorjaus δ 1-2 ja δ 2-1

Image21

Kaavoissa (37)-(39) käytettävistä itäkoordinaateista E 1 ja E 2 on vähennettävä valeitä eli itäkoordinaatin arvo keskimeridiaanilla (esimerkiksi 500 000 m ETRS-TM35FIN tapauksessa). R on keskikaarevuussäde, joka voidaan laskea kaavalla:

Image22

Image23

Suuntakulma (t) projektiotasolla, atsimuutti ( α ), konvergenssikulma ( γ ) ja suuntakorjaus ( δ ) riippuvat toisistaan seuraavan kaavan mukaisesti:

Image24

Kun piste on keskimeridiaanin itäpuolella, karttapohjoinen on itään napapohjoisesta ja meridiaanikonvergenssi on positiivinen. Pisteen ollessa länteen keskimeridiaanista, karttapohjoinen on länteen napapohjoisesta ja meridiaanikonvergenssi on negatiivinen.

    4 Lambertin pinta-alatarkka projektio

Alkuperäiset projektiokaavat on esitetty J. H. Lambertin teoksessa Anmerkungen und Zuzätze zur Entwerfung der Land- und Himmelscharten (1772). Seuraavaksi esitettävät kaavat ovat J. P. Snyderin kirjasta Map Projections Used by the U.S. Geological Survey , Geological Survey Bulletin 1532 (1982).

      4.1 Kaavoissa esiintyvät symbolit ja niiden määritelmät

Kaavoissa käytetään kulmayksikkönä radiaania.

Image25

      4.2 Projektiokaavat

Geodeettisista koordinaateista ( φ , λ ) tasokoordinaateiksi ( X, Y )

Syöte:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ )

Tulos:

pisteen koordinaatit ( X, Y ) projektiotasolla

Image26

Image27

Image28

Tasokoordinaateista ( X, Y ) geodeettisiin koordinaatteihin ( φ , λ )

Syöte:

pisteen koordinaatit ( X, Y ) projektiotasolla

Tulos:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ )

Image29 Image30

    5 Lambertin konforminen kartioprojektio

Alkuperäiset projektiokaavat on esitetty J. H. Lambertin teoksessa Anmerkungen und Zuzätze zur Entwerfung der Land- und Himmelscharten (1772). Seuraavaksi esitettävät kaavat ovat J. P. Snyderin kirjasta Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395 (1983). Kirjaa ei pidä sekoittaa vuotta aikaisemmin ilmestyneeseen J. P. Snyderin kirjaan Map Projections Used by the U.S. Geological Survey , Geological Survey Bulletin 1532 (1982), koska jälkimmäisessä kaavojen apusuure ρ on annettu väärin.

      5.1 Kaavoissa esiintyvät symbolit ja niiden määritelmät

Kaavoissa käytetään kulmayksikkönä radiaania.

Image31

      5.2 Projektiokaavat

Geodeettisista koordinaateista ( φ, λ ) tasokoordinaateiksi ( N, E )

Syöte:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ )

Tulos:

pisteen koordinaatit ( N, E ) projektiotasolla

Image32

Image33

Tasokoordinaateista ( N, E ) geodeettisiin koordinaatteihin ( φ, λ )

Syöte:

pisteen koordinaatit ( N, E ) projektiotasolla

Tulos:

pisteen geodeettiset koordinaatit ( φ , λ )

Image34

Kaava 84 vaatii iteroinnin, kunnes muutos on riittävän pieni. Funktio sgn() kaavassa 80 palauttaa sen attribuuttina olevan muuttujan etumerkin.